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数学勾股定理

勾股定理
开放分类： 数学、定理、几何、毕达哥拉斯定理、勾股定理毕氏定理
目录
勾股定理
《周髀算经》简介
伽菲尔德证明勾股定理的故事
勾股定理
各具特色的证明方法
勾股定理
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勾股定理:
勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。
在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a的平方＋b的平方＝c的平方，即α*α+b*b=c*c
推广：把指数改为n时，等号变为小于号
当三角形为钝角时，哪么a的平方+b的平方〈c的平方，即a*a+b*b〈c*c
当三角形为锐角时，哪么a的平方+b的平方〉c的平方，即a*a+b*b〉c*c
据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年
勾股数：是指能组成a^+b^=c^的三个正整数称为勾股数.
实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例。除上述两个例子外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角。但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑。比如说，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得证实。”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥板书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为 30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数。这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库。
勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单又实用，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。（※关于勾股定理的详细证明，由于证明过程较为繁杂，不予收录。）
人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。
欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。
从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。
勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。
若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。
如此等等。
【附录】
《周髀算经》简介
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《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。 《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。
伽菲尔德证明勾股定理的故事
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1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边长分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。
于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
如下:
解：勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，
a^2;+b^2;=c^2;
说明：我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。
举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c2= a2+b2=9+16=25
则说明斜边为5。
勾股定理
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第一章 勾股定理一、 勾股定理的内容，勾股定理是怎样得到的，从定理的证明过程中你得到了什么启示？练习：如图字母B所代表的正方形的面积是 ( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 1、在△ABC中,∠C =Rt∠. (1) 若a =2,b =3则以c为边的正方形面积 = (2) 若a =5,c =13.则b = . (3) 若c =61,b =11.则a = . (4) 若a∶c =3∶5且c =20则 b = . (5) 若∠A =60°且AC =7cm则AB = cm，BC 2 = cm2. 2、直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜边上的高等于 cm. 3、等腰三角形的周长是20cm,底边上的高是6cm,则底边的长为 cm. 4、△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,则BC边上的高AD = cm. 5、已知：△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC= ,DB=2cm ,则BC cm, AB= cm, AC= cm. 6、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为_______。 7、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高________米。
8、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
9、小丰妈妈买了一部29英寸(74cm)电视机,下列对29英寸的说法中正确的是
A. 小丰认为指的是屏幕的长度; B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度;
C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长; D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度
10、
二、 你有几种证明一个三角形是直角三角形的方法？
练习：
三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )
A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.
1、在ΔABC中,若AB2 + BC2 = AC2,则∠A + ∠C＝ °。
2、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（ ）
（A） 直角三角形 (B)锐角三角形
（B） (C)钝角三角形 (D)以上答案都不对
已知三角形的三边长分别是2n+1,2n +2n, 2n +2n+1（n为正整数）则最大角等于_________度.
3、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。
各具特色的证明方法
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三角学里有一个很重要的定理，我国称它为勾股定理，又叫商高定理。因为《周髀算经》提到，商高说过勾三股四弦五的话。下面介绍其中的几种证明。
最初的证明是分割型的。设a、b为直角三角形的直角边，c为斜边。考虑下图两个边长都是a+b的正方形A、B。将A分成六部分，将B分成五部分。由于八个小直角三角形是全等的，故从等量中减去等量，便可推出：斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和。这里B中的四边形是边长为c的正方形是因为，直角三角形三个内角和等于两个直角。如上证明方法称为相减全等证法。B图就是我国《周髀算经》中的“弦图”。
下图是H．珀里加尔（Perigal）在1873年给出的证明，它是一种相加全等证法。其实这种证明是重新发现的，因为这种划分方法，labitibn Qorra（826～901）已经知道。（如：右图）下面的一种证法，是HE杜登尼（Dudeney）在1917年给出的。用的也是一种相加全等的证法。
如右图所示，边长为b的正方形的面积加上边长为a的正方形的面积，等于边长为c的正方形面积。
下图的证明方法，据说是L达芬奇（da Vinci, 1452～1519）设计的，用的是相减全等的证明法。
欧几里得（Euclid）在他的《原本》第一卷的命题47中，给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明，如次页上图。由于图形很美，有人称其为“修士的头巾”，也有人称其为“新娘的轿椅”，实在是有趣。华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙，和“外星人”去交流。其证明的梗概是：
(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。
同理，(BC)2=KEBL
所以
(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2

印度数学家兼天文学家婆什迦罗（Bhaskara，活跃于1150年前后）对勾股定理给出一种奇妙的证明，也是一种分割型的证明。如下图所示，把斜边上的正方形划分为五部分。其中四部分都是与给定的直角三角形全等的三角形；一部分为两直角边之差为边长的小正方形。很容易把这五部分重新拼凑在一起，得到两个直角边上的正方形之和。事实上，
婆什迦罗还给出了下图的一种证法。画出直角三角形斜边上的高，得两对相似三角形，从而有
cb=bm，
ca=an,
cm=b2
cn=a2
两边相加得
a2+b2=c(m+n)=c2
这个证明，在十七世纪又由英国数学家J．沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新发现。
有几位美国总统与数学有着微妙联系。G华盛顿曾经是一个著名的测量员。T杰弗逊曾大力促进美国高等数学教育。A．林肯是通过研究欧几里得的《原本》来学习逻辑的。更有创造性的是第十七任总统J．A．加菲尔德（Garfield, 1831～1888），他在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能。在1876年，（当时他是众议院议员，五年后当选为美国总统）给出了勾股定理一个漂亮的证明，曾发表于《新英格兰教育杂志》。证明的思路是，利用梯形和直角三角形面积公式。如次页图所示，是由三个直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面积得
即
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
这种证法，在中学生学习几何时往往感兴趣。
关于这个定理，有许多巧妙的证法（据说有近400种），下面向同学们介绍几种，它们都是用拼图的方法来证明的。
证法1 如图26-2，在直角三角形ABC的外侧作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它们的面积分别为c2，b2和a2。我们只要证明大正方形面积等于两个小正方形面积之和即可。
过C引CM‖BD，交AB于L，连接BC，CE。因为
AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG，
所以 △ACE≌△AGB
SAEML=SACFG (1)
同法可证
SBLMD=SBKHC (2)
(1)+(2)得
SABDE=SACFG+SBKHC，
即 c2=a2+b2
证法2 如图26-3（赵君卿图），用八个直角三角形ABC拼成一个大的正方形CFGH，它的边长是a+b，在它的内部有一个内接正方形ABED，它的边长为c，由图可知。
SCFGH=SABED+4×SABC，
所以 a2+b2=c2
证法3 如图26-4（梅文鼎图）。
在直角△ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，在直角边AC上又作正方形ACGF。可以证明（从略），延长GF必过E；延长CG到K，使GK=BC=a，连结KD，作DH⊥CF于H，则DHCK是边长为a的正方形。设
五边形ACKDE的面积=S
一方面，
S=正方形ABDE面积+2倍△ABC面积
=c2+ab (1)
另一方面，
S=正方形ACGF面积+正方形DHGK面积
+2倍△ABC面积
=b2+a2+ab. (2)
由(1)，(2)得
c2=a2+b2
证法4 如图26-5（项名达图），在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE，又以直角三角形ABC的两个直角边CA，CB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ（图26-5）。可以证明（从略），GF的延长线必过D。延长AG到K，使GK=a，又作EH⊥GF于H，则EKGH必为边长等于a的正方形。
设五边形EKJBD的面积为S。一方面
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
另一方面，
S=SBEFG+2S△ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
由(1)，(2)
得出论证
都是用面积来进行验证：一个大的面积等于几个小面积的和。利用同一个面积的不同表示法来得到等式，从而化简得到勾股定理）图见
勾股定理是数学上证明方法最多的定理之一——有四百多种证法！但有记载的第一个证明——毕达哥拉斯的证明方法已经失传。目前所能见到的最早的一种证法，属于古希腊数学家欧几里得。他的证法采用演绎推理的形式，记载在数学巨著《几何原本》里。在中国古代的数学家中，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a） 2 。于是便可得如下的式子： 4×（ab2）+（b-a） 2 =c 2 化简后便可得： a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=（a 2 +b 2 ） (12) 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 以下网址为赵爽的“勾股圆方图”： 以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展， 只是具体图形的分合移补略有不同而已。 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。 以下网址为刘徽的“青朱出入图”：
勾股定理的应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载：禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。
勾股定理在我们生活中有很大范围的运用.
请看看这,这好有详细解释和图形:

勾股定理验证

勾股定理目录
勾股定理
《周髀算经》简介
伽菲尔德证明勾股定理的故事
勾股定理部分习题
勾股定理的别名
[编辑本段]勾股定理
勾股定理:
在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
定理：
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²＋b²＝c² 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果三角形的三条边a，b，c满足a²＋b²＝c² ，那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）
[编辑本段]《周髀算经》简介
勾股。 《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。 《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。
[编辑本段]伽菲尔德证明勾股定理的故事
1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边长分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。
于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
如下:
解：在网格内，以两个直角边为边长的小三角形面积，等于以斜边为边长的的三角形面积。
勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，
a^2;+b^2;=c^2;
说明：我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。
举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c^2= a^2+b^2=9+16=25
则说明斜边为5。
[编辑本段]勾股定理部分习题
第一章 勾股定理一、 勾股定理的内容，勾股定理是怎样得到的，从定理的证明过程中你得到了什么启示？
练习:
1、在△ABC中,∠C =90°. (1) 若a =2,b =3则以c为边的正方形面积是多少? (2) 若a =5,c =13.则b是多少? .(3) 若c =61,b =11.则a是多少? (4) 若a∶c =3∶5且c =20则 b 是多少? (5) 若∠A =60°且AC =7cm则AB = ＿cm，BC = ＿cm.
2、直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜边上的高等于 ＿cm.
3、等腰三角形的周长是20cm,底边上的高是6cm,则底边的长为 ＿cm.
4、△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,则BC边上的高AD = ＿cm.
5、已知：△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC= ,DB=2cm ,则BC＝＿ cm, AB= ＿cm, AC= ＿cm.
6、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为_______。
7、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高________米。
8、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
9、小丰妈妈买了一部29英寸(74cm)电视机,下列对29英寸的说法中正确的是
A. 小丰认为指的是屏幕的长度; B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度;
C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长; D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度
二、 你有几种证明一个三角形是直角三角形的方法？
练习：
（×经典练习×）
据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五，后人概括为“勾三，股四，弦五”。
（1）观察：3、4、5、，5、12、13、，7、24、25，……发现这几组勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9＋1）与0.5（25－1）、0.5（25＋1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7、24、25这一组数的股与弦的算式。
（2）根据（1）的规律，若用n(n为奇数且n≥3)来表示所有这些勾股数的勾，请你直接用含n的代数式来表示它们的股和弦。
答案：
（1） 0.5（9+1）∧2+0.5（25-1）∧2=169=0.5（25+1）∧2 0.5（13+1）∧2+0.5（49-1）∧2=0.5（49+1）∧2
（2） 股：0.5（n^2-1) 弦：0.5（n^2+1）
三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )
A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.
1、在ΔABC中,若AB2 + BC2 = AC2,则∠A + ∠C＝ °。
2、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（ ）
（A） 直角三角形 (B)锐角三角形
(C)钝角三角形 (D)以上答案都不对
已知三角形的三边长分别是2n+1,2n +2n, 2n +2n+1（n为正整数）则最大角等于_________度.
三角形三个内角度数比为1:2:3,它的最大边为M,那么它的最小边是_____.
斜边上的高为M的等腰直角三角形的面积等于_____.
3、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。
美国总统的证明方法图各具特色的证明方法三角学里有一个很重要的定理，我国称它为勾股定理，又叫商高定理。因为《周髀算经》提到，商高说过勾三股四弦五的话。下面介绍其中的几种证明。
最初的证明是分割型的。设a、b为直角三角形的直角边，c为斜边。考虑下图两个边长都是a+b的正方形A、B。将A分成六部分，将B分成五部分。由于八个小直角三角形是全等的，故从等量中减去等量，便可推出：斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和。这里B中的四边形是边长为c的正方形是因为，直角三角形三个内角和等于两个直角。如上证明方法称为相减全等证法。B图就是我国《周髀算经》中的“弦图”。
下图是H．珀里加尔（Perigal）在1873年给出的证明，它是一种相加全等证法。其实这种证明是重新发现的，因为这种划分方法，labitibn Qorra（826～901）已经知道。（如：右图）下面的一种证法，是HE杜登尼（Dudeney）在1917年给出的。用的也是一种相加全等的证法。
如右图所示，边长为b的正方形的面积加上边长为a的正方形的面积，等于边长为c的正方形面积。
下图的证明方法，据说是L达芬奇（da Vinci, 1452～1519）设计的，用的是相减全等的证明法。
欧几里得（Euclid）在他的《原本》第一卷的命题47中，给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明，如次页上图。由于图形很美，有人称其为“修士的头巾”，也有人称其为“新娘的轿椅”，实在是有趣。华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙，和“外星人”去交流。其证明的梗概是：
(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。
同理，(BC)2=KEBL
所以
(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2
印度数学家兼天文学家婆什迦罗（Bhaskara，活跃于1150年前后）对勾股定理给出一种奇妙的证明，也是一种分割型的证明。如下图所示，把斜边上的正方形划分为五部分。其中四部分都是与给定的直角三角形全等的三角形；一部分为两直角边之差为边长的小正方形。很容易把这五部分重新拼凑在一起，得到两个直角边上的正方形之和。事实上，
婆什迦罗还给出了下图的一种证法。画出直角三角形斜边上的高，得两对相似三角形，从而有
cb=bm，
ca=an,
cm=b2
cn=a2
两边相加得
a2+b2=c(m+n)=c2
这个证明，在十七世纪又由英国数学家J．沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新发现。
有几位美国总统与数学有着微妙联系。G华盛顿曾经是一个著名的测量员。T杰弗逊曾大力促进美国高等数学教育。A．林肯是通过研究欧几里得的《原本》来学习逻辑的。更有创造性的是第十七任总统J．A．加菲尔德（Garfield, 1831～1888），他在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能。在1876年，（当时他是众议院议员，五年后当选为美国总统）给出了勾股定理一个漂亮的证明，曾发表于《新英格兰教育杂志》。证明的思路是，利用梯形和直角三角形面积公式。如次页图所示，是由三个直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面积得
即
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
这种证法，在中学生学习几何时往往感兴趣。
关于这个定理，有许多巧妙的证法（据说有近400种），下面向同学们介绍几种，它们都是用拼图的方法来证明的。
证法1 如图26-2，在直角三角形ABC的外侧作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它们的面积分别为c2，b2和a2。我们只要证明大正方形面积等于两个小正方形面积之和即可。
过C引CM‖BD，交AB于L，连接BC，CE。因为
AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG，
所以 △ACE≌△AGB
SAEML=SACFG (1)
同法可证
SBLMD=SBKHC (2)
(1)+(2)得
SABDE=SACFG+SBKHC，
即 c2=a2+b2
证法2 如图26-3（赵君卿图），用八个直角三角形ABC拼成一个大的正方形CFGH，它的边长是a+b，在它的内部有一个内接正方形ABED，它的边长为c，由图可知。
SCFGH=SABED+4×SABC，
所以 a2+b2=c2
证法3 如图26-4（梅文鼎图）。
在直角△ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，在直角边AC上又作正方形ACGF。可以证明（从略），延长GF必过E；延长CG到K，使GK=BC=a，连结KD，作DH⊥CF于H，则DHCK是边长为a的正方形。设
五边形ACKDE的面积=S
一方面，
S=正方形ABDE面积+2倍△ABC面积
=c2+ab (1)
另一方面，
S=正方形ACGF面积+正方形DHGK面积
+2倍△ABC面积
=b2+a2+ab. (2)
由(1)，(2)得
c2=a2+b2
证法4 如图26-5（项名达图），在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE，又以直角三角形ABC的两个直角边CA，CB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ（图26-5）。可以证明（从略），GF的延长线必过D。延长AG到K，使GK=a，又作EH⊥GF于H，则EKGH必为边长等于a的正方形。
设五边形EKJBD的面积为S。一方面
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
另一方面，
S=SBEFG+2S△ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
由(1)，(2)
得出论证
都是用面积来进行验证：一个大的面积等于几个小面积的和。利用同一个面积的不同表示法来得到等式，从而化简得到勾股定理）图见
勾股定理是数学上证明方法最多的定理之一——有四百多种证法！但有记载的第一个证明——毕达哥拉斯的证明方法已经失传。目前所能见到的最早的一种证法，属于古希腊数学家欧几里得。他的证法采用演绎推理的形式，记载在数学巨著《几何原本》里。在中国古代的数学家中，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a） 2 。于是便可得如下的式子： 4×（ab2）+（b-a） 2 =c 2 化简后便可得： a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=（a 2 +b 2 ） (12) 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 以下网址为赵爽的“勾股圆方图”： 以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展， 只是具体图形的分合移补略有不同而已。 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。 以下网址为刘徽的“青朱出入图”：
勾股定理应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载：禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。
勾股定理在我们生活中有很大范围的运用.
勾股定理的16种验证方法（带图）：http:blog.cersp.comUploadFiles200711-251125862269.doc
练习题：一个等腰三角形,三个内角的比为1:1:10,腰长为10cm,则这个三角形的面积为____
解：由题意得此三角形各角角度为15度 15的150度
设底边上的高为h 底边长为2t
易得sin15=sin60cos45-cos60sin45=h10
解得h=5(√6-√2)2
又tan15=(tan60-tan45)(1-tan60tan45)=5(√6-√2)2t
解得t=5(√6+√2)
故面积s=th=50CN `
[编辑本段]勾股定理的别名
勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称．
我国是发现和研究勾股定理最古老的国家．我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．在公元前1000多年，据记载，商高(约公元前1120年)答周公曰“勾广三，股修四，经隅五”，其意为，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”．因此，勾股定理在我国又称“商高定理”．在公元前7~6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日．
在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”．还有的国家称勾股定理为“平方定理”．
在陈子后一二百年，希腊的著明数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理．为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．
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什么是化石?

至今一般都以为既然地层中埋藏着大量已经绝了种的生物所遗留下的化石，那么这化石必定是进化论最好的佐证了，绝大多数人都不知道达尔文主义最大的敌人并非神职人员，而是化石专家。19世纪初叶，最流行的地质学理论是大灭绝论或灾变论(catastrophism)。法国科学家、古生物学之父居维叶曾极力提倡灾变论。他相信地层的记录显示的模式分明可见古代的环境曾发生多次突然的剧变(大天灾)，大量不同的生物种都因此灭绝了。随之而来的是一段创造的时期；很多新的生物种就突然出现，而这些新的物种却没有留下任何痕迹显示它们是怎样进化来的。
到了达尔文的时代，居维叶的灾变论渐渐失势，被查理·赖尔--达尔文的一位年长的朋友--所倡导的均变论所取代。赖尔认为，自然界巨大的改变是由极长期、每日渐变的力量积累之后才产生大变，故解释自然界的剧变为果而非因。我们现在回顾达尔文所提出的进化论是必须依循赖尔这种逻辑，但是赖尔本人却不能接受生物进化的思想。当时也有不少熟悉化石证据的人同样不能接受进化论。
早就有人指出，生物分类学上属于各种大类的生物(如不同界、门、纲、目)各有其不同的基本结构，各大类之间极少有中间型(intermediate types)。那么这些间断的种类之间的环节到底在那里呢？忠心支持达尔文的赫胥黎也为缺乏连接的中间型而烦恼。他多次私下警告达尔文，如果要让他的理论符合证据，他必须容许大步伐、跃进式的进化。
达尔文自己也问过同样的问题：
如果一种生物演化成另一种的过程是借着难以了解的微小的步伐，那为什么我们不能到处找到大量的中间型呢？为什么我们在自然界找到的生物都是种类分明，而不是相似难分的呢？
他用灭种的理论来解释。灭种是适者生存推理的另外一面，当经过改进的新种出现的时候，它的父母可以说是已经不够适应了。这样，如果我们看每一种生物都是从另一种不知名的生物传下来的话，那么它的父母及其他过渡期的中间型应该被这新的、更完美的新种消灭了。制造新种的过程就同时消灭了旧种。达尔文用这个因过时不适而灭种的理论来解释为什么他的进化论好像与事实不符，因为研究现今的生物界，我们观察到的物种(和各大类)都是分立和稳定的，而且各类中间只有极少数的中间型。他说各类分立的生物之间原本是有中间型的，只因不再适应环境所以消失了。
但是，这些必须有的中间型不但从现今的生物界消失了，而且在化石中也找不到的话又怎样说呢？达尔文自己承认，根据他的理论推断，在现存的生物种及已经绝种的生物种之间必须有极大数目的过渡环节和中间型。因此我们可以想象地质学家应该可以不断发现中间环节的化石证据了。可惜事实却恰恰相反。地质学家所发现的新种或一组的新种都是突然出现，而不是经过一系列的演化而形成。达尔文承认化石的证据是最明显、反对我的进化论的理由。这就是所有著名的古生物学家……和伟大的地质学家……都一致(甚至有时极力)主张物种是绝对不变的理由。
达尔文还振振有辞地辩说，化石的难题虽然是非常严重的问题，却不能算是进化论的致命伤。他主要的理由是化石所保留的证据极不完整。化石是要在很特殊的情况之下才得保存下来，因此世界各地所有的化石床也不能反映一套完整不断的记录，所以化石所显示的只是很多短暂年代的写照，各年代之间又有很长年代的空白。还有，他认为即使有这样的证据，我们未必能从化石中认出祖先和后代之间的关系，除非我们可以找到一套完整的化石链条。将两个种的关系显示出来，否则我们可能认为这两个是完全无关的种。有时达尔文在字里行间暗示缺少中间环节就是化石不完全的证明。这样的态度就好像他预知他的理论就是绝对的真理，可以反过来批判证据的不足。他说：
我不愿意假装不知道物种突变的记录是何等的贫乏，在保存得最好的地层中也找不到大量的过渡生物来连接每一地层前后所出现的生物。这是我的理论最大的困难。
虽然事实太不争气，达尔文在化石这个难题上已经尽了全力，但是在某些问题上他也只能坦白地说：我不能提供满意的答案。当他写下面这类的话时，他好像有一点绝望的表现：自然界好像故意隐藏证据，不让我们多发现过渡性的中间型。但是达尔文却没有失去信心，他唯一的问题是怎样解释为什么化石给人错误的印象。
在此我请读者停一停，跟我一起想一想，一个客观毫无偏见的人生活在达尔文的时代，当《物种起源》一书出版之后会怎样看这一场关于进化的争论。一方面反对达尔文的理由并非基于宗教的偏见，因为怀疑派人士包括当代著名的古生物学及地质学的领袖。但另一方面，达尔文为化石证据不足的辩护也不能说是完全没有理由。不过要点是，他只能作消极的辩护。客观来说，化石所能保存的资料很可能真是漫长的地质年代中的一些片段而已。而各地层之间也可能有足够的时空让一些生物进化的过程实现。不过，承认理论上有空缺是一回事，绝不等于有权力将理论所需要的证据随意填进那空缺就算了事，所以达尔文的辩护顶多不过说明缺乏化石的证据不能算是进化论的致命伤。然而缺乏证据绝非任何理论的优点！
如果达尔文和他的信徒诚心要找一个方法来测验他们的信仰，他们的确是可以用化石来考验。达尔文坚决肯定过渡性中间环节的数目必定非常庞大，他甚至说大到不可想象(inconceivable)。但当年并没有找到很多中间型，因为在1859年全世界还有很多化石床还没有仔细地搜查过。当时的探察者可能也不知道到底要找什么。一旦古生物学家接受了达尔文的学说作为可以暂用的假使，搜查更多新的化石床，协助证实达尔文主义，你想达尔文学说的困境必会好转，假以时日化石的记录必会改观，越来越像达尔文所预料的一样。是吗？
可是对一个怀疑者来说，只许成功不许失败的考验并非真正公平的考验。请想一想，如果科学界所有的人都热爱了达尔文这学说，达尔文主义很快就成了正统思想，变为不可抗拒的浪潮，其威力之大连当时最有声望的科学家，如哈佛大学的路易·阿加西斯也不能抵挡。他因不肯随着潮流改变，附和进化论而突然被人嫌弃。试想古生物学家疯狂地投入这个新学说，甚至在研究化石时单单发表支持进化的发现，而不支持进化的证据就被搁置隐藏起来，这种歪曲真理的情况何等可怕。以下我们要详细地看一看，上述的情况并非幻想，而是史实。表面上达尔文主义似乎通过了化石的考验，但事实上是多年来科学界的人不肯让它垮台而已。
达尔文的理论不仅推测化石演变一定会被发现，而且还暗示真正完整的化石记录一定会显示演变的存在，我们关于物种恒定的想法会在持续变化的过程中被证明是一种专断的观点。达尔文主义者还有一个关于物种灭绝的重要论断，物种灭绝是生存竞争的必然结果，达尔文认识到他的理论需要一个比进化更加和缓的灭绝模式：
以往较旧的想法，以为地球上的生物在不同年代被大天灾毁灭的看法，已经被人遗弃。那些地质学家……他们基本的看法自然会引导他们作这样的……结论，所以，我有理由相信在一群生物之中，一个种灭亡的速度一定比它出现的速度慢。如果在图表中用一条直立的直线来代表某一种生物在地层化石中出现的年代，而线的粗细代表个体数目的大小，那么这条线的上端逐渐变细(意味着灭绝的速度)一定比下端渐渐变细(意味着物种出现速度)更缓慢。不过，偶然有些生物如菊石类(ammonites)在第二纪却突然神秘地消失了。
物种渐渐不断地消失是生物逐渐被更适应环境的后代所淘汰的必然现象。但是，如果大多数古生物的灭亡只限于几次地球上的大灾难(例如地球温度突然变化，或者地球受外太空流星撞击)，在这些大灾难的情况之下，生物能否生存可能与平时适应与否无关，残存的生物不死最大的原因很可能是够幸运而已。这样，只要搜查新的化石床，找中间环节，并且研究生物灭亡的模式和大天灾的关系，就可真正考验进化论 是否正确。
虽然达尔文反对大步伐的进化引起以后科学界持久的争论，但是在达尔文有生之年，进化论大大胜利。在始祖鸟(Archaeopteryx)--一种有几项类似爬虫特征的化石鸟--被发现之后，很多人以为全套进化论所需要的一切化石证据已经找到了。从此以后，找化石成功的故事不断传出。先是说找到了人类的始祖，然后有像哺乳动物的爬虫和一套似乎完整无缺马的进化记录等等。乔治·盖洛德·辛普森将古生物学纳入新达尔文主义合成论中。他宣告化石已经证明达尔文是对的。这项宣言历代以来被当作事实传授给学生物学的学生。1980年哈佛的古尔德说，美国最新、最有分量的生物学导论的课本也基于化石证据支持合成进化的理论。他说：
广进化论(macroevolution)，就是进化上较大幅度的改变，是否能够用微小的改变(microevolution)来解释呢？鸟类的来源是否真的本于爬虫，渐渐积累像鸟的基因，如紫红眼睛等基因而改变成鸟类呢？
答案当然是可能的！而且没有人可以提出更好的解释……化石的记录说明广进化的速度的确很缓慢。慢步的进化必须如前例所说的，积累取代几百到几千个基因而形成。
可惜，上面引述最后的一句话是假的！古生物学家早就知道是假的。
在70年代，古尔德、尼尔斯·埃尔德里奇及斯蒂芬·斯坦利已经撰文重新评估化石的证据。古尔德和埃尔德里奇提出一项新的学说，他们称之为间断平衡(punctuated equilibrium)(蔑视的人称它punkeek，废物之意)，目的就是希望解决化石的困惑：为什么对世界各地地层长远而又广泛的探索所发现的今天所有的化石整体来说，仍然不能解释1859年不能说明的问题？古尔德说：
绝大多数生物化石的历史都包涵两个与渐进式的进化论有冲突的特点：
1.稳定：过去绝大多数的生物活在地上的时候都没有显出任何进化或退化的现象。多数物种在地层中出现时与它们消灭时的外形几乎是完全一样的。即使有外形的改变也都十分有限，并且没有显示进化的一定方向。
2.突然出现：世界各地调查的结果证实，任何物种并非由始祖逐渐改变而来；相反的，各种生物出现时都已经全部完成了。
总之，如果进化的要意是解释一种生物可以渐渐改变成为另一种生物，那么化石证据最大的贡献就是说明进化论没有任何根据。当然进化论者也可以强辩说，因为中间环节没有被地层保存下来，所以生物种好像突然消失。但是，稳定的现象--所有生物化石所显示的完全没有基本的方向性的改变--是一种积极有力的证据，证明没有进化。我说的不是偶然有这样的例子；而是说，所有化石显示的趋向都是如此。
根据斯蒂芬·斯坦利所著的《进化新时间表》一书，在美国怀俄明州的大角羊盆地(BighornBasin)埋藏了500万年连续不断的化石记录，而这段时间又正好是哺乳动物在地球上出现并开始征服全球的时期。由于这些记录非常完整，很多古生物学家确信生活在这盆地的生物群体中必定有些化石，可以串连起来，为连续不断的进化过程作证。但事实却恰恰相反，很多被认为是祖先的物种，竟然跟其后代同时存在。并且，整个化石记录中竟没有一处清楚显示任何生物从一种转变为另一种。而且，物种在从化石记录中消失之前平均约100多万年的时间里基本上没有任何改变。斯坦利以蝙蝠和鲸鱼的来源为例，证实达尔文渐进主义不可能克服的难题，就是面对化石稳定不变的证据怎样解释在1000万年(或稍多一点点)的时间之内，从同一种的哺乳动物可以渐进演化出蝙蝠和鲸鱼这两种完全不同的动物来！
假设我们想用已有物种逐渐演变的办法生成一只蝙蝠或鲸鱼，又如果每一个长期种(chronospecies)【注一：生物界中，各物种独自分别为繁殖的体系，各种之间不能互相繁殖，因为单从化石来看，我们不能确定两种不同外形的生物是否能繁殖?我们只能从化石的外表形态来决定生物是否同种。那么一个长期种就是指一系列的生物化石经过长时间进化仍未改变多少，故仍旧归入一个种。】的平均寿命都有100万年(或更多一点)，而事实上，我们只可能在1000万年的时间之内完成这项任务，那么，我们用最紧凑的方法也只可能将10到15个长期种连接起来，串连出一个连续的系列，就要将一只低等的哺乳动物祖先演化成为蝙蝠和鲸鱼，这简直是荒唐而不可思议的事。长期种本身的定义就是逐渐改变而经长期的进化才产生一个新种。每种的变化不会太大。那么一连串10到15个这些种，或者可以使一只像小鼠一样的动物改变成稍有不同的动物；它或者可以算是一个新属(Genus)的动物。但绝对不可能成为一只蝙蝠或鲸鱼！
显然，斯坦利需要有更快速方法来解释哺乳动物的演变。他只有依赖完全没有经过考验的学说：随机的突变可以更改调节基因(regulatorygenes)，从而变更胚胎发育的过程，因此在一代之间就可以产生完全不同的生物。到底这算不算是广进化呢？我们来看看古尔德及埃尔德里奇在进化论方面提供最重要的一个概念间断平衡怎样解释新种的形成。他们说，新种(speciation)很快可以形成，【注二：很快、迅速这类词在此是专门的名词，应用于地质学的年代。读者应该记得，对一个地质学家来说，10万年只不过是段很短的时间。一些主张间断平衡的人强调，弃绝渐进论很容易使人误解他们鼓吹大突变论。他们的意思好像是说，进化的演变要经过达尔文所说一步一步的过程，很多个世代才完成，但从地质的年代来看又是很短暂的时期。这种模糊不清的说法可能是故意捏造的，下文将解释其中的原因。】只要在一始祖分布地域的边缘有一小组的个体与主流之间产生了分隔，就可以完成。自然选择的压力可能在某一生物种分布边缘地区向侥幸生存的群体发出最大的效力，并且幸免死亡而存留的异种很快就可以在这数目很小被分隔的群体中散布。这样，一个全新的生物种就可能在大群体的边缘产生，并且不留下任何化石的痕迹，因为化石主要是从大群体中的动物遗留下来的。这样新种就好像在化石记录中突然出现，然后渐渐分布到整个始祖种群占领的地区。
间断平衡说解释，既然化石记录已平衡不变为主，那么，新种的出现必须从大步的广进化而来。埃尔德里奇及古尔德认为，广进化与新种的产生是不能分离的，因为在一个大群体中，基因的流动(geneflow)由大量的杂交趋向中庸反而成了进化变异的障碍。这样也可解释为什么化石记录中的种都不改变，因为整个群体并不改变。重要的进化变异是在边缘、被分隔的小群体中进行，然后新种出现之后在重新突然回到始祖的群体中。
可惜大多数的进化论学者并不接受埃尔德里奇和古尔德的学说，他们反对进化的改变与新种的产生有密切的关系，因为在一个动物种之中就可以有很多不同变异(正如几百种不同的狗一样)。相反地，不同的生物种常常在外表形态上几乎无法分辨，所以，新种与同种内的变异似乎是两个不同的现象。至于基因的稀释或基因的流动在一个大群体中是否真正阻止改变，仍然是理论上未解决的争论，而子代形成之后才重新加入亲代种的学说又没有证据支持。菲秋马说，若有的话，也只有极少的例证可以显示始祖型与改变后的子代在同一地区共存。
因此，再加上其他的理由，正统的新达尔文主义者喜欢用传统常用的论调，以化石记录不全来解释为什么新种会突然出现。而衡态不变和稳定的现象，正好反映了他们偏爱的镶嵌进化(mosaic-evolution)和稳定选择(stabilizing-selection)。镶嵌进化是指动物柔软的部分可能在无形中进化，而可以变为化石(硬)的部分看来还是一样。稳定选择则认为，自然选择可以消除所有的变异而防止改变。这就是有时虽然经过数百万年的时间环境的改变，仍未能看出新的适应改变的原因。在此，自然选择又以同义反复的姿态出现。不论变或不变，都可以用它来解释。这样，自然选择岂非万能？
如果达尔文主义享有先验的(a-priori)真理的地位，那么化石证据的难题只不过是进化的过程没有记录而已。但是如果从另一方面来看，达尔文主义只不过是一项科学的假说，用化石就能加以证实或证伪，那么间断平衡所引起的争论，真正重要的意义不在乎古尔德、埃尔德里奇和斯坦利所提出的解答，而在于他们引起争论的原因。我认为没有必要怀疑间断平衡可以作为解释进化论的一个模式。有些情况之下，如夏威夷的果蝇繁衍出不同的种，就显示出一个生物种迁移到新环境之后很快就能多样化，所以重点不是物种分布的边缘地区是否很快能产生新种，最重要的是察看这种机制能否解释超过种以上的进化。相对来说，种的变化还是非常狭窄的范围，而且这种过程是否真如达尔文主义者所说，并不产生身体特征上主要的改变？
试想斯坦利所提出的，以鲸鱼和蝙蝠为例的难题，就是同一纲(class)中的动物的改变。没有人主张一个原始的啮齿动物可以在一次改变之后就变成鲸鱼或蝙蝠。有没有调节基因的突变帮助也不是主要问题。重要的是进化过程中必须留下许多个中间型的生物。其中也有一些必定有相当的数目，并且在地上生存一段较长的时间。但为什么这一切必定有的情况，居然完全没有在古化石中留下记录呢？当然有一些中间型可能不太适应环境而活不长久，特别是要将脚改变成鳍或翅膀的中间型难以生存。无论如何，提出这些问题对达尔文主义者的故事毫无助益。
当然总有一些进化的过程没有在化石中留下丝毫可考的痕迹。但无论如何，我们不能完全靠聪明的借口来填满一切空缺。在各大类的生物如门、纲、目之间的空缺不但普遍存在，而且它们之间的鸿沟简直太多了。请问，除了不可见的边缘分隔的解释之外，还有任何其他的想法吗？
在化石记录问题中，使达尔文主义者最头疼的是寒武纪大爆炸(Cambrian-explosion)。大约6亿年前，几乎所有动物的门(Phylum)同时在地层中出现，完全没有达尔文主义者所必需的祖先痕迹。正如道金斯所说，这些动物化石就好像有人故意放进去一样，完全没有进化的历史可以追寻。达尔文在世时还没有证据显示寒武纪之前有任何生物存在。他在《物种起源》中承认这现象目前仍未能解释，而且的确是可以用来作为有力的证据打击我现在要讨论的观点。达尔文又说，如果我的学说是确凿的，寒武纪之前的世界一定充满各种的活物。
近年，在地球最古老的岩层中找到了不同的细菌及蓝绿菌的化石，而且一般都认为这些单细胞的生命可能在40亿年前就出现了。细菌及蓝绿菌是属于原核细胞(prokaryotes)，它们没有细胞核，也没有其他的细胞器。比较复杂的真核细胞(eukaryote-cells)较后才出现。接着有数十组独立的多细胞动物相继出现，但它们彼此之间没有任何可见的进化过程。达尔文学说要求在单细胞与昆虫、海虫及蛤蚌等各类之间有悠久的时间和多种的中间型。可惜这一切必须的证据都找不到，连借口也难寻。
【注三： 这个问题因一种叫艾迪爱卡动物（Ediacarans）在进化史上的地位不明而受混淆。这些动物体质柔软，属于浅海的无脊椎类。它们的化石在寒武纪大爆炸之前的岩层中出现。部分的古生物学家认为其中有几种可能是寒武纪动物的前身。最近有一位名叫赛拉赫的古生物学家，他的研究结果认为，艾迪爱卡动物群（Ediacarans fauna）中并没有现代生物的祖先，并且所有艾迪爱卡动物的基本构造与现存生物的结构有很大差异。这种见解古尔德也同意。这样看来，艾迪爱卡动物化石的存在就可以粉碎达尔文主义者认为寒武纪之间软体的动物祖先不能成为化石、故无踪影的解释。事实上，很多古代软体动物都留下不少化石，伯基斯页岩就是其中最著名的例子。】
寒武纪大爆炸的问题渐渐为现代读者熟悉，最大的功劳要归于古尔德的那本描述伯基斯页岩中寒武纪化石重新分类的佳作《奇妙的生命》(Wonderful Life)。古尔德认为，首先发现伯基斯页岩化石、并首先作分类工作的查理·沃尔科特，故意将这些新化石塞进以往分类学上固有的框框中。他这样做的动机出于他对于前寒武纪化石的解释偏向假象学说(artifact theory)。古尔德说：
100多年来，关于寒武纪缺乏始祖的原因，有两种对立的解释。一方面是假象学说(认为前寒武纪已有生物始祖，但它们并没有遗下化石)；另一方面是迅速转变学说(fast transition theory)(认为前寒武纪根本没有始祖物，至少没有可以辨为复杂无脊椎动物的始祖。那么，进化过程必须在短期之内产生现代所有各类型动物身体的结构。这样惊人的快速跃进，威胁着我们一般认为进化改变应遵循庄严稳重步伐前进的思想)。
最近研究显示，伯基斯页岩化石中有15-20种与已经成立的种类全无关联。那么，每一种应该归入不同的新动物门。另外有同样数量的种或可归入现存的动物门中，但这些化石的体型结构仍然与众不同。所以，现有一般动物的始源概观，首先是各类体型动物突然同时出现，后来又有大量的灭绝。此后，地上再也没有出现新的动物门。现今生存的动物在最早期(前寒武纪)的化石中并未存在。而既有的动物由始至今仍属同样分类的系统。这样看来，或者可以说动物有一些进化，但一切的改变都限于已有的类型之内。而所有各类型是怎样来的？全无记录。所以古尔德宣称，重新将伯基斯页岩的化石分类，等于为假象学说敲了丧钟，因为：
如果进化可以在前寒武纪突然造出十个动物门，马上又将它们消灭，那么寒武纪之后存留的种类又如何呢？为什么它们又需在前寒武纪留下漫长可敬的家谱呢？为何它们不能像伯基斯页岩的动物一样，如快速转变学说所建议，突然在寒武纪就出现了呢？为何不用最直截了当的办法解释化石的记载呢？
传统的达尔文主义者会说，从单细胞直接突变出25-50个复杂的动物门，而不经过漫长中间型不断演替的过程，至少在遗传学上是不可能的。像古尔德这样描写的进化过程是与达尔文及其继承者所想象的完全不同，应该用不同的词来代表，达尔文的进化模式，古尔德称为不断多样化的圆锥(cone of increasing diversity)。就是说，多细胞动物的历史是应该由最少数、最简单的种逐步演化而来。因此，在寒武纪出现的十多种动物的基本体型结构的化石也必须经过漫长逐渐的过程，由简单的形式变化而来。而且，这个圆锥的扩展不应该在寒武纪之后突然又停下来。如果恰恰相反的事实尚未暴露，达尔文主义者必然仍怀信心、期待着这几十亿年以来进化过程可以产生很多新的动物门呢！
相反，我们所见到的是所有的体型构造首先同时都出现了，其中有很多跟着灭绝了，余下的继续繁衍，但没有一样不在原有的规范之内发展。这些寒武纪原有的类型本身的来历，没有任何可知的历史，因此，提供进化历史的假象学说既然失败，就必须抛弃。或许在极少数的类型之间可能有少数的中间型，但其中也没有任何一项能被证实。此外，在单细胞与复杂动物之间所有的关联只不过是像迅速转变之类的空言而已。如果把这种非达尔文主义的脚本称为进化，只不过使它更加神秘莫测而已。
生物化石记录中突然出现、跟着是长期稳定平衡的情况，正与达尔文主义学说所预期的情况相反。生物灭绝的经过也同样使人失望。地球历史上有几次物种大量灭绝的事实，原因何在仍在争论，有两次的大灾难特别引人注目。大约2.45亿年前的二叠纪大灾难(Permian extinction)灭绝了海洋中半数无脊椎动物的科(Family)，包括了超过90%的动物种一 同灭绝。另外一次是著名的K-T灭亡，那大约是6500万年前白垩纪的末叶，除了恐龙，不少其他动植物都灭绝了，包括达尔文承认突然奇妙地消失的菊石类动物。
据古尔德说，古生物学家早就知道这些大死亡，但是他们尽量低估其重要性，因为我们强烈地趋向连续渐进的偏见，使我们视大量死亡为反常，并且富有威胁性。现在用大灾难的学说来解释古生物灭绝的现象又重新开始流行了。而且很多学者现在报告宣称大量灭绝的现象比以前公认的次数更多，更突然，而且影响力更大。
灾变论在地质学家及古生物学家中是一个有争议的题目。很多科学论文坚持恐龙和菊石类动物在陨石撞击地球之前百万年已经开始死亡。陨石又很可能是造成K-T大灭亡的主要原因。这些表面上看来是深奥虚渺的争论，其实背后有很深远的牵连，因为达尔文主义的学说必须要求旧种(指遗失的祖先及众多的中间型)被更适应的新种取代时必须渐渐消亡。如果动物灭亡的历史主要是受全球性的大灾难所影响，那么生存或灭亡的分别很可能是机遇的问题。这样，突然灭亡的现象再加上新种突然出现，跟着又是一段长期的稳定，这几方面的事实同样使达尔文主义者的期望落空。
关于化石的新争论很快将会出现，很可能今天记载的一切文献几年内就会变为陈旧。需要记得的重点是化石的问题与达尔文主义的关系越来越糟。科学创造论者指出了这些困难，一些信奉达尔文主义的古生物学家非常恼怒，其实他们的困境在他们自己的著作中早已一览无遗了。古尔德常常是最有趣的评述家。
参加了一个有关大灭亡的地质学会议之后，古尔德写了一篇非常出色的文章，反映了证据对达尔文主义何等的不利。他告诉读者他对无脊椎动物(他最熟悉的课题)渐进的学说缺乏证据而懊恼。我们可以报道某些动物有些进步，但老实说，我们必须承认，复杂生物的历史不过是同一设计范围内的一些变化而已。绝非什么积累优点的故事。【注四：古尔德引用了达尔文的一些话，我却要引用更佳的一段：可以

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